Question

20．空間四邊形ABCD中，P、Q、R、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形PQRH是平行四邊形；
（2）若AC=BD，則四邊形PQRH是什么四邊形？
（3）若AC⊥BD，則四邊形PQRH是什么四邊形？
（4）空間四邊形ABCD滿足什么條件時，PQRH是正方形？

Answer 1

分析 （1）只需證明QR∥PH，且QR=PH即可．依據(jù)是平行公理四：和同一條直線平行的直線平行．
（2）作出如圖的空間四邊形，連接AC，BD可得一個三棱錐，將四個中點連接，得到一個四邊形，可證明其是一個菱形．
（3）結(jié)合圖形，由三角形的中位線定理可得PQ∥AC，RH∥AC且PQ=$\frac{1}{2}$AC，RH=$\frac{1}{2}$AC，由平行四邊形的定義可得四邊形PQRH是平行四邊形，再由鄰邊垂直得到四邊形PQRH是矩形．
（4）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半，先判斷出AC=BD，又正方形的四個角都是直角，可以得到正方形的鄰邊互相垂直，然后證出AC與BD垂直，即可得到四邊形ABCD滿足的條件．

解答 證明：（1）如圖，連接BD．
因為QR是△CBD的中位線，
所以QR∥BD，QR=$\frac{1}{2}$BD．
又因為PH是△ABD的中位線，
所以PH∥BD，PH=$\frac{1}{2}$BD．
根據(jù)公理4，QR∥PH，且QR=PH．
所以四邊形QRPH是平行四邊形．
（2）作出如圖的空間四邊形，
連接AC，BD可得一個三棱錐，
將四個中點連接，得到一個四邊形PQRH，
由中位線的性質(zhì)知，
PH∥QR，PQ∥RH，
故四邊形PQRH是平行四邊形，
又AC=BD，
故有PQ=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=QR，
故四邊形PQRH是菱形．
（3）如圖三所示：∵PQ∥AC，RH∥AC且PQ=$\frac{1}{2}$AC，RH=$\frac{1}{2}$AC
∴四邊形PQRH是平行四邊形
又∵AC⊥BD，
∴PQ⊥QR，
∴四邊形PQRH是矩形．
（4）四邊形ABCD滿足AC=BD，AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．
理由如下：
∵P、Q、R、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、AD的中點，
∴PQ∥AC，且PQ=$\frac{1}{2}$AC，
PH∥BD，且PH=$\frac{1}{2}$BD，
∵四邊形PQRH是正方形，
∴PQ=QR，PQ⊥QR，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD滿足對角線互相垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形．
即四邊形ABCD滿足AC=BD，AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．

點評 本題主要考查了以下知識點：簡單幾何體和公理四，考查空間中直線與干線之間的位置關系，考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，涉及到線線平行的證明，線段的中點，中位線定理，構成平面圖形，研究平面圖形的形狀，是�？碱愋�，屬中檔題．