Question

12．“$\frac{ln3-5}{3}$≤k≤$\frac{ln2-1}{2}$”是“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x²+kx有且僅有2個正整數(shù)解”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 由圖可求得“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x²+kx有且僅有2個正整數(shù)解”的k的取值范圍，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．

解答 解：關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x²+kx
即$\frac{lnx}{x}$$+1+\frac{1}{x}$-x＞k，
設(shè)y=$\frac{lnx}{x}$$+1+\frac{1}{x}$-x，
則y′=$\frac{{x}^{2}+lnx}{{x}^{2}}$，
令y′=-$\frac{{x}^{2}+lnx}{{x}^{2}}$的零點(diǎn)為a，則a∈（0，1），且
當(dāng)x∈（0，a）時，y′＞0，y=$\frac{lnx}{x}$$+1+\frac{1}{x}$-x為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（a，+∞）時，y′＞0，y=$\frac{lnx}{x}$$+1+\frac{1}{x}$-x為減函數(shù)，
故函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$$+1+\frac{1}{x}$-x的圖象如下圖所示：

要使$\frac{lnx}{x}$$+1+\frac{1}{x}$-x＞k有且僅有2個正整數(shù)解，
則k∈[$\frac{ln3}{3}+1+\frac{1}{3}-3$，$\frac{ln2}{2}+1+\frac{1}{2}-2$），
即$\frac{ln3-5}{3}$≤k＜$\frac{ln2-1}{2}$”，
故“$\frac{ln3-5}{3}$≤k≤$\frac{ln2-1}{2}$”是“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x²+kx有且僅有2個正整數(shù)解”的必要不充分條件，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義，存在性問題，數(shù)形結(jié)合思想，其中求出“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x²+kx有且僅有2個正整數(shù)解”的充要條件，難度較大．