設(shè)點N(p，q)在|p|≤3，|q|≤3區(qū)域內(nèi)按均勻分布出現(xiàn)，試求方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩解都是實數(shù)的概率．

答案：
解析：

　　分析：根據(jù)一元二次方程有實數(shù)解的條件找出關(guān)于p，q的約束條件，從而確定區(qū)域，進(jìn)而求得其概率．

　　解：由題意知點N(p，q)的集合構(gòu)成了邊長為6的正方形區(qū)域，如圖所示，所以S正方形＝62＝36．

　　由方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩解都是實數(shù)，得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，即p2＋q2≥1，所以當(dāng)點N(p，q)落在正方形內(nèi)及圓O外的陰影區(qū)域時，方程的兩解都是實數(shù)．由圖3可知，陰影部分的面積S＝S正方形－S圓＝36－π．

　　所以，方程的兩解都是實數(shù)的概率為P＝．

　　點評：本題把方程解的問題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域上圖形的面積問題，從而使問題得到了解決，這里的轉(zhuǎn)化起到了“化抽象為具體”的作用．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在x軸上的射影分別為左焦點F1和右焦點F2，直線PQ的斜率為
3
2
，過點A且與AF1垂直的直線與x軸交于點B，△AF1B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線l：3x+4y+
1
4
a2=0與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，且
ME
•
MF
=-
1
2
a2，求橢圓方程；
（3）設(shè)點N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點到點N的最遠(yuǎn)距離不大于6
2
，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓數(shù)學(xué)公式的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在x軸上的射影分別為左焦點F1和右焦點F2，直線PQ的斜率為數(shù)學(xué)公式，過點A且與AF1垂直的直線與x軸交于點B，△AF1B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線數(shù)學(xué)公式與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，且數(shù)學(xué)公式，求橢圓方程；
（3）設(shè)點N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點到點N的最遠(yuǎn)距離不大于數(shù)學(xué)公式，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南模擬 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在x軸上的射影分別為左焦點F1和右焦點F2，直線PQ的斜率為
3
2
，過點A且與AF1垂直的直線與x軸交于點B，△AF1B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線l：3x+4y+
1
4
a2=0與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，且
ME
•
MF
=-
1
2
a2，求橢圓方程；
（3）設(shè)點N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點到點N的最遠(yuǎn)距離不大于6
2
，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省無錫市江陰市成化高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（02）（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在x軸上的射影分別為左焦點F1和右焦點F2，直線PQ的斜率為，過點A且與AF1垂直的直線與x軸交于點B，△AF1B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，且，求橢圓方程；
（3）設(shè)點N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點到點N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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