Question

（重慶市2011屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)合診斷性考試文科）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（2）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）且極小值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù) f′（x），并將導(dǎo)函數(shù)分解因式變形為 f′（x）=（x-1）（ax-1），便于解不等式，再確定討論標(biāo)準(zhǔn)，由于解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，需比較a與0，1的大小，故確定分當(dāng)a＞1，當(dāng)a=1，當(dāng)0＜a＜1，當(dāng)a=0，當(dāng)a＜0五種情況討論，最后分別在五種情況下解含參數(shù)的一元二次不等式即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）先由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），代入得b=，再結(jié)合（1）中的討論，若極小值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，需，從而解得a的范圍，最后求一次函數(shù)b=的值域即可得b的范圍
解答：解：（1）∵f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
當(dāng)a＞1時(shí)，0＜＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜，由f′（x）＜0，得＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）；減區(qū)間為（，1）
當(dāng)a=1時(shí)，∵f′（x）=（x-1）²≥0，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＞1，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞，由f′（x）＜0，得1＜x＜，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，+∞），（-∞.1）；減區(qū)間為（1，）
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（1-x），由f′（x）＞0，得x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）；減區(qū)間為（1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，＜0，由f′（x）＞0，得＜x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1或x＜，，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，1）；減區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）；減區(qū)間為（，1）
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，+∞），（-∞.1）；減區(qū)間為（1，）
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）；減區(qū)間為（1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，1）；減區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）
（2）∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）
∴，∴b=
∵f（x）極小值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，由（1）可知
∴＜a＜1
∴＜＜
∴＜b＜
點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類(lèi)討論的思想方法，熟練的解含參數(shù)的一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵