Question

如圖，設(shè)圓x²+y²=12與拋物線x²=4y相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)點(diǎn)F作一直線l交圓于點(diǎn)M、N，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：過(guò)點(diǎn)F作一直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立

x2+y2=12 y=kx+1

，得：（k²+1）x²+2kx-11=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到S_△OMN=

1

2

d•|MN|=

12k2+11

k2+1

，由此能求出△OMN面積的取值范圍．

解答： 解：∵拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），
∴過(guò)點(diǎn)F作一直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立

x2+y2=12 y=kx+1

，得：（k²+1）x²+2kx-11=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2k

k2+1

，x₁x₂=-

11

k2+1

，
∴|MN|=

(1+k2)[ 4k2 (k2+1)2 + 44 k2+1 ]

=2

12k2+11 k2+1

，
∵O（0，0）到直線y=kx+1的距離d=

1

k2+1

，
∴S_△OMN=

1

2

d•|MN|
=

1

2

•

1

k2+1

•2

12k2+11 k2+1

=

12k2+11

k2+1

，
∴當(dāng)k=0時(shí)，（S_△OMN） max =

11

．
當(dāng)k→+∞時(shí)，（S_△OMN）_min→0．
∴△OMN面積的取值范圍是（0，

11

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．