Question

【題目】已知函數(shù)（）有極小值.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】【試題分析】（1）求得函數(shù)定義域后，對函數(shù)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于零，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，對分成兩類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定當(dāng)時(shí)符合題意.（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為方程在時(shí)有唯一實(shí)根. 由（1）知函數(shù)在處取得最小值，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在處取得最大值為，結(jié)合唯一實(shí)數(shù)根這一條件可求得的取值范圍.

【試題解析】

（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>， ，令，得，

當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，故在處取得極小值，

當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，故在處取得極大值.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）函數(shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，即方程在時(shí)有唯一實(shí)根，

由（1）知函數(shù)在處取得最小值，

設(shè)， ，令，有，

列表如下

		1
	正	0	負(fù)
	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

故時(shí)， ，

又時(shí)， ； 時(shí)， ， ，

所以方程有唯一實(shí)根， 或，此時(shí)的取值范圍為或.