Question

對(duì)于在區(qū)間[p，q]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x），g（x），若對(duì)于所有的x∈[p，q]，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在區(qū)間[p，q]上是接近的兩個(gè)函數(shù)，否則稱(chēng)它們?cè)趨^(qū)間[p，q]上是非接近的兩個(gè)函數(shù)．現(xiàn)在給定區(qū)間D=[a+2，a+3]，有兩個(gè)函數(shù)f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga

1

x-a

，其中a＞0且a≠1．
（1）若f（x）和g（x）在區(qū)間D上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論f（x）和g（x）在區(qū)間D上是否為接近的兩個(gè)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）和g（x）在區(qū)間D上都有意義，即

x-3a＞0 x-a＞0

且a+2＞3a，求得a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求出|f（x）-g（x）|≤1時(shí)a的取值范圍，得到f（x）和g（x）在區(qū)間D上是接近的兩個(gè)函數(shù)；否則，是非接近的兩個(gè)函數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga

1

x-a

，其中a＞0且a≠1，
∴

x-3a＞0 x-a＞0

，即x＞3a；
又區(qū)間D=[a+2，a+3]，
∴a+2＞3a，
∴0＜a＜1；
∴a的取值范圍是{a|0＜a＜1}；
（2）∵|f（x）-g（x）|=|log_a（x-3a）-log_a

1

x-a

|=|log_a（x²-4ax+3a²）|=|log_a[（x-2a）²-a²]|，
當(dāng)x∈D時(shí)，（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]，
令h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，
則h（x）_min=h（a+3）=log_a（9-6a），h（x）_max=h（a+2）=log_a（4-4a），
要使得|f（x）-g（x）|≤1，
則

0＜a＜1 loga(9-6a)≥-1 loga(4-4a)≤1

，解得0＜a≤

9- 57

12

，
∴當(dāng)a∈(0，

9- 57

12

]時(shí)，f（x）和g（x）在區(qū)間D上是接近的兩個(gè)函數(shù)；
當(dāng)a∈(

9- 57

12

，1)時(shí)，f（x）和g（x）在區(qū)間D上是非接近的兩個(gè)函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義下的函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題，以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是易錯(cuò)題．