已知f（x）+2f（
1
x
）=3x．
（1）求f（x）的解析式，并標(biāo)注定義域；
（2）指出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并用定義加以證明．
考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間
專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）由 f(x)+2f(
1
x
)=3x①
用
1
x
代替x，得 f(
1
x
)+2f(x)=
3
x
②聯(lián)立方程組求出f（x）的式子，注意定義域．
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明判斷．
解答： 解：（1）由 f(x)+2f(
1
x
)=3x①
用
1
x
代替x，得 f(
1
x
)+2f(x)=
3
x
②
②×2-①，得 3f(x)=
6
x
-3x，
所以 f(x)=
2
x
-x，（x≠0）
（2）由（1），f(x)=
2
x
-x，x≠0，
其遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），無增區(qū)間．
事實(shí)上，任取x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
2
x1
-x1-
2
x2
+x2=
2(x2-x1)
x1x2
-(x1-x2)=(x2-x1)•
2+x1x2
x1x2

∵x1＜x2＜0∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2+x1x2＞0，
所以 (x2-x1)•
2+x1x2
x1x2
＞0，即f（x1）＞f（x2）
故f（x）在（-∞，0）上遞減．同理可證其在（0，+∞）上也遞減．
點(diǎn)評：本題考查了利用方程的方法求解函數(shù)解析式，與單調(diào)性的定義判斷證明．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)直線l：x-y+m=0與拋物線C：y2=4x交于不同兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則△ABF的重心G的軌跡的普通方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）+f（
1
x
）=6x+
3
x
，對x≠0恒成立，則f（3）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將f（x）=cos2x的函數(shù)的圖象（　�。�
A、向右平移
π
6
個(gè)單位
B、向右平移
π
12
個(gè)單位
C、向左平移
π
6
個(gè)單位
D、向左平移
π
12
個(gè)單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin（π+x）sin（
3π
2
-x）-cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若α∈[-
π
2
，0]，f（
1
2
α+
π
3
）=
1
10
，求tanα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，滿足“?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0”的是（　�。�
A、f（x）=2x
B、f（x）=-（x-1）2
C、f（x）=
1
x+1
D、f（x）=ln（x+1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+
π
6
）-2sin2
ω
2
x+1（ω＞0），直線y=-
3
與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為π．
（1）求ω的值．
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點(diǎn)（B，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對稱中心，且b=3，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在映射f：A→B中，A=B=R，且f：（x，y）→（x-y，x+y），則與A中的元素（2，1）在B中的象為（　　）
A、（-3，1）
B、（1，3）
C、（-1，-3）
D、（3，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|-1＜x≤3}，B={x|1≤x＜6}，求∁R（A∪B）、∁R（A∩B）、（∁RA）∩B、A∪（∁RB）．

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同步練習(xí)冊答案