Question

甲：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；乙：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)，對(duì)于函數(shù)：
①f（x）=

1

x

，
②f（x）=log₂（

x2+1

-x），
③f（x）=x|x|，
④f（x）=

2x-1，x≥0 -2-x+1，x＜0

，
能使甲、乙均為真命題的所有函數(shù)的序號(hào)是

②③④

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)及函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)逐一分析四個(gè)條件，不難得到答案．

解答：解：①中，函數(shù)f（x）=

1

x

，f（-x）=-

1

x

=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，
但f（x）在定義域上不是增函數(shù)，故①不滿足甲；
②中，函數(shù)f（x）=log₂（

x2+1

-x），f（-x）=log₂（

x2+1

+x），
f（x）+f（-x）=log₂[（

x2+1

-x）•（

x2+1

+x）=log₂1=0，即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，
u=

x2+1

-x為增函數(shù)，而y=log₂u也為增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得f（x）在定義域上為增函數(shù)，符合條件
③中，函數(shù)f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)，
又∵x∈（-∞，0]時(shí)，f（x）=-x²為增函數(shù)，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x²為增函數(shù)，
故f（x）在定義域上為增函數(shù)，符合條件．
④中，函數(shù)f（x）=

2x-1，x≥0 -2-x+1，x＜0

，
當(dāng)x＞O時(shí)，-x＜0，此時(shí)f（x）=2^x-1，f（-x）=-2^x+1，滿足f（-x）=-f（x），此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)x=O時(shí)，f（0）=0，滿足f（-x）=-f（x），
當(dāng)x＜O時(shí)，-x＞0，此時(shí)f（x）=-2^-x+1，f（-x）=2^-x-1，滿足f（-x）=-f（x），此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
故f（x）是奇函數(shù)，又在定義域上為增函數(shù)，符合條件．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題綜合的考查了多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，然后逐一對(duì)照條件，判斷條件是否滿足，即可得到答案．