Question

已知偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，下列判斷中錯(cuò)誤的是（ ）
A．f（5）=0
B．函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱
D．函數(shù)f（x）的周期是T=4

Answer 1

【答案】分析：利用賦值的方法，結(jié)合f（x）為偶函數(shù)，可得f（1）=f（3）=f（5）=0，故A項(xiàng)正確；利用題中等式可以證出y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，再結(jié)合f（x）為偶函數(shù)且區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)，得f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)的證明可得C項(xiàng)是錯(cuò)誤的；最后利用賦值的方法，結(jié)合變量代換，可證出f（x）的周期是T=4，得到D正確．
解答：解：對(duì)于A，令x=0代入題中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0
∴f（1）=0，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)得f（-1）=f（1）=0
再令x=2代入題中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0
結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)得f（-3）=f（3）=0
最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，因?yàn)榕己瘮?shù)y=f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)，
所以y=f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，
設(shè)F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x）
因?yàn)閒（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），
所以F（x）=f（1+x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由此可得y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．
∵區(qū)間[1，2]和區(qū)間[0，1]是關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的區(qū)間，且在對(duì)稱的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性一致
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，由B項(xiàng)的證明可知，y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
若f（x）的圖象同時(shí)關(guān)于直線 x=1對(duì)稱，則f（x）=0恒成立，
這樣與“在區(qū)間[-1，0]上f（x）是增函數(shù)”矛盾，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)閒（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2）
所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函數(shù)f（x）的周期是T=4，D項(xiàng)正確
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，要我們?cè)诮o出的幾條性質(zhì)中找出錯(cuò)誤的一項(xiàng)，著重考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．