Question

11．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）在x軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，原點O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線l：y=kx+m（-1≤k≤2）與圓x²+y²=2相切，并與橢圓C交于M，N兩點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用點到直線的距離公式，即可求得a和b的值，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；
（2）利用點到直線的距離公式，m²=2（k²+1），將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理，弦長公式及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得|MN|的取值范圍．

解答 解：（1）由丨AB丨=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{7}$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1
則橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知：橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+4）x²+6kmx+3m2-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{3{k}^{2}+4}$，
由直線l與圓x²+y²=2相切，則$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，則m²=2（k²+1），
則丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{48（{k}^{2}+2）}}{3{k}^{2}+4}$，
=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{{k}^{2}+2}}{3{k}^{2}+4}$，
令3k²+4=t，t∈[4，16]，則丨MN丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}+t-2}}{t}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{9}{8}-2（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}}$，
由$\frac{1}{16}$≤$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{t}$，
∴f（$\frac{1}{t}$）=$\sqrt{\frac{9}{8}-2（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}}$，在[$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{t}$]單調(diào)遞增，
則$\frac{3\sqrt{10}}{4}$≤丨MN丨≤$\sqrt{6}$，
∴|MN|的取值范圍[$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，$\sqrt{6}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，二次函數(shù)的單調(diào)性，考查橢圓與函數(shù)單調(diào)性的與最值得應用，考查計算能力，屬于中檔題．