Question

在△ABC，AB=AC，點D在邊BC上，點P在邊AD上，已知BD=2DC，∠ABP=∠CAP．求證：∠CPD=

1

2

∠BAC．

Answer 1

考點：兩直線的夾角與到角問題,相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)D（4，0），C（6，0），A（3，a）．設(shè)

DP

=λ

DA

，可得

BP

=

BD

+λ

DA

=（4-λ，λa）．利用向量計算公式可得k_BP=

λa

4-λ

，k_BA=

a

3

．因此tan∠ABP=

kBA-kBP

1+kBA•kBP

=

4a-4λa

12-3λ+λa2

．同理可得tan∠DAC=

kAC-kAD

1+kACkAD

=

2a

3+a2

，利用∠ABP=∠DAC，可得λ=

2a2-6

3+3a2

．由于
tan∠BAC=-tan2∠ABC=

-2tan∠ABC

1-tan2∠ABC

．tan∠DPC=

kPC-kAD

1+kPC•kAD

=

3

a

．可得tan2∠DPC=

2tan∠DPC

1-tan2∠DPC

．即可證明．

解答： 證明：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)D（4，0），C（6，0），A（3，a）．
設(shè)

DP

=λ

DA

，則

BP

=

BD

+λ

DA

=（4-λ，λa）．
∴k_BP=

λa

4-λ

，k_BA=

a

3

．
∴tan∠ABP=

kBA-kBP

1+kBA•kBP

=

4a-4λa

12-3λ+λa2

．
∵k_AC=-

a

3

，k_AD=-a．
∴tan∠DAC=

kAC-kAD

1+kACkAD

=

2a

3+a2

，
∵∠ABP=∠DAC，
∴

4a-4λa

12-3λ+λa2

=

2a

3+a2

，化為λ=

2a2-6

3+3a2

．
tan∠BAC=-tan2∠ABC=

-2tan∠ABC

1-tan2∠ABC

=

6a

a2-9

．
k_PC=

-λa

2+λ

=

3-a2

4a

．
tan∠DPC=

kPC-kAD

1+kPC•kAD

=

3

a

．
∴tan2∠DPC=

2tan∠DPC

1-tan2∠DPC

=

6a

a2-9

．
∴tan2∠DPC=tan∠BAC．
∴∠DPC=

1

2

∠BAC．

點評：本題考查了通過建立直角坐標(biāo)系利用斜率計算公式、到角公式、正切公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．