Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，1≤|a_n|≤

2

，求證：數(shù)列{a_n}為常數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)|q|＞1時(shí)，a₁=1，|a_n|=|a₁q^n-1|=

2

，則|a_n+1|=|

2

q|＞

2

，不成立；當(dāng)0＜|q|＜1時(shí)，a₁=

2

，|a_n|=1，則|a_n+1|=|

2

q|＜1，不成立，由此得到數(shù)列{a_n}為常數(shù)列．

解答： 證明：∵等比數(shù)列{a_n}中，1≤|a_n|≤

2

，
當(dāng)|q|＞1時(shí)，
∴a₁=1，|a_n|=|a₁q^n-1|=

2

，則|a_n+1|=|

2

q|＞

2

，不成立；
當(dāng)0＜|q|＜1時(shí)，
a₁=

2

，|a_n|=1，則|a_n+1|=|

2

q|＜1，不成立，
∴q=1．
∴數(shù)列{a_n}為常數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}為常數(shù)列的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．