Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=8，S₄=40．數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前n項和P_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）運用等差數(shù)列的通項公式與求和公式，根據(jù)條件列方程，求出首項和公差，得到通項a_n，運用n=1時，b₁=T₁，n＞1時，b_n=T_n-T_n-1，求出b_n；
（Ⅱ）寫出c_n，然后運用分組求和，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別應用求和公式化簡即可．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意，得

a1+d=8 4a1+6d=40

，
解得

a1=4 d=4

，
∴a_n=4n，
∵T_n-2b_n+3=0，∴當n=1時，b₁=3，當n≥2時，T_n-1-2b_n-1+3=0，
兩式相減，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
則數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴bn=3•2n-1；                        
（Ⅱ）cn=

4n      n為奇數(shù) 3•2n-1  n為偶數(shù)

．
當n為偶數(shù)時，P_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=

(4+4n-4)• n 2

2

+

6(1-4 n 2 )

1-4

=2n+1+n2-2．            
當n為奇數(shù)時，
（法一）n-1為偶數(shù)，P_n=P_n-1+c_n=2^（n-1）+1+（n-1）²-2+4n=2ⁿ+n²+2n-1，
（法二）P_n=（a₁+a₃+…+a_n-2+a_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=

(4+4n)• n+1 2

2

+

6(1-4 n-1 2 )

1-4

=2n+n2+2n-1． 
∴Pn=

2n+1+n2-2，n為偶數(shù) 2n+n2+2n-1，n為奇數(shù)

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項與求和公式的運用，考查方程的思想在數(shù)列中的運用，同時考查數(shù)列的通項與前n項和的關系式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，是一道綜合題．