Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，且△AOB面積為

2

，橢圓C的離心率與雙曲線

x2

a2

-

y2

a2

=1離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓C的方程
（2）求過(guò)點(diǎn)P（

2

3

，-

1

3

）而不過(guò)點(diǎn)Q（

2

，1）的動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．求∠MQN．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意知S△AOB=

1

2

ab=

2

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）①直線斜率不存在時(shí)，能求出∠MQN=90°；若直線l的斜率存在，設(shè)它的方程為y=kx+b，由已知條件推導(dǎo)出b=-(

2

3

k+

1

3

)，聯(lián)立

y=kx+b x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出∠MQN=90°．

解答： 解：（1）由題意知S△AOB=

1

2

ab=

2

，
雙曲線

x2

a2

-

y2

a2

=1離心率為

2

，
因?yàn)闄E圓C的離心率與雙曲線

x2

a2

-

y2

a2

=1離心率互為倒數(shù)，
所以橢圓的離心率為

2

2

，e=

c

a

=

2

2

，
解得a=2，b=

2

，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）①如果直線斜率不存在時(shí)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

3

，±

17

3

)，
∵點(diǎn)Q（

2

，1），∴∠MQN=90°．
②若直線l的斜率存在，設(shè)它的方程為y=kx+b，
因?yàn)辄c(diǎn)P(

2

3

，-

1

3

)在直線l上，
所以-

1

3

=

2

3

k+b，故b=-(

2

3

k+

1

3

)，
聯(lián)立直線l和橢圓方程

y=kx+b x2 4 + y2 2 =1

，
消去y，得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，
設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），則x1+x2=-

4kb

(2k2+1)

，x₁x₂=-

2b2-4

(2k2+1)

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=-

4kb2

2k2+1

+2b=

2b

2k2+1

，
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2，
所以y1y2=

b2-4k2

2k2+1

，
因?yàn)?span id="x2fes2p" class="MathJye">

QM

=(x1-

2，

y1-1)，

QN

=(x2-

2，

y2-1)，
所以

QM

•

QN

=(x1-

2，

y1-1)•(x2-

2，

y2-1)
=x1x2-

2

(x1+x2)+2+y1y2-(y1+y2)+1
=-

2b2-4

2k2+1

-

2

(-

4kb

2k2+1

)+2+

b2-4k2

2k2+1

-

2b

2k2+1

+1
=

1

2k2+1

[3b2+2k2+2b(2

2

k-1)-1]
=

1

2k2+1

[

1

3

(

2

k+1)2+2k2-

2

3

(

2

k+1)(2

2

k-1)-1]=0，
所以∠MQN=90°．
綜上所述，∠MQN=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．