已知定點(diǎn)A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由

解：(1)設(shè)P(x,y)，則
化簡(jiǎn)得x2－=1(y≠0)…………………………………………4分
(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)
與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由題意知3－k2≠0且△＞0
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，
則
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因?yàn)閤1、x2≠－1
所以直線AB的方程為y＝(x＋1)
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()
,同理可得
因此
＝
＝0
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)
AB的方程為y＝x＋1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，
同理可得
因此＝0
綜上＝0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F

解析

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知定點(diǎn)A（1，0），定圓C：（x+1）2+y2=8，M為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，則點(diǎn)N的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax
x+b
，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點(diǎn)A（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點(diǎn)，求|AP|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定點(diǎn)A（1，0）和定直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，滿足
AE
⊥
AF
，動(dòng)點(diǎn)P滿足
EP
∥
OA
，
FO
∥
OP
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若
AM
•
AN
＜0，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=5，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）
（Ⅰ）若M到點(diǎn)A的距離與M到直線l的距離之比為
5
5
，試求M的軌跡曲線C1的方程．
（Ⅱ）若曲線C2是以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且以C1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，試求曲線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定點(diǎn)A（1，0）和定圓B：x2+y2+2x-15=0，動(dòng)圓P和定圓B相切并過(guò)A點(diǎn)，
（1）求動(dòng)圓P的圓心P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)Q是軌跡C上任意一點(diǎn)，求∠AQB的最大值．

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