Question

已知拋物線C：（θ∈R）
（I）當(dāng)θ變化時(shí)，求拋物線C的頂點(diǎn)的軌跡E的方程；
（II）已知直線l過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M，交（I）中軌跡E于A、B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先將拋物線方程然后用θ表示出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，消去θ，即得拋物線C的頂點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）先求得圓心M（-2，1），由于，所以M是AB的中點(diǎn)，設(shè)l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程消去y借助于根與系數(shù)的關(guān)系，利用M是AB的中點(diǎn)，可求直線方程．
解答：解：（I）將拋物線方程配方得，
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為p（x，y），則，消去θ得．
故拋物線C的頂點(diǎn)P的軌跡E的方程：．…（5分）
（Ⅱ）由x²+y²+4x-2y=0得圓心M（-2，1），
∵∴M是AB的中點(diǎn)，易得直線l不垂直x 軸，
可設(shè)l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴，解得k=．
∴直線l的方程為，即8x-9y+25=0…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查參數(shù)法求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組的方法，屬于中檔題．