Question

求由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)分割

　　在區(qū)間[1，2]內(nèi)等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間：[1，]，[，]，…，[，2]，記第i個區(qū)間為[](i＝1，2，…，n)，其長度為Δx＝

　　分別過上述n－1個點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作ΔS₁，ΔS₂，…，ΔS_n．

　　則小曲邊梯形面積的和為S＝．

　　(2)近似代替

　　記f(x)＝，當n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它等于．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用小矩形面積Δ近似地代替ΔS_i，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔS_i≈Δ＝f(i＝1，2，…，n)．

　　(3)求和

　　小曲邊梯形的面積和S_n＝

　　

　　

　　

　　從而得到S的近似值S＝S_n≈

　　(4)取極限

　　分別將區(qū)間[1，2]等分成8，16，20，…等份時，S_n越來越趨向于S，當n趨向于＋∞時，S_n無限趨近于．

　　由此可知圖形面積為．

　　分析：利用求曲邊梯形面積的步驟逐步求解．

　　綠色通道：本題主要考查曲邊梯形面積的求解方法．用分割、近似代替、求和、取極限這四個步驟可以求曲邊多邊形的面積，它體現(xiàn)了一種化整(分割)為零，積零為整(逼近)的思想方法．