Question

已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,

 (1) 寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；

(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

Answer 1

解析： (1) a1＝, a2＝, a3＝,          

猜測 an＝2－                   

 

(2) ①由（1）已得當(dāng)n＝1時，命題成立；        

②假設(shè)n＝k時,命題成立，即 ak＝2－,      

當(dāng)n＝k＋1時, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

 ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

 ∴2ak＋1＝2＋2－,  ak＋1＝2－,                 

即當(dāng)n＝k＋1時,命題成立.                          

根據(jù)①②得n∈N+  , an＝2－都成立