Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于半徑為1的球，則當(dāng)該棱柱體積最大時(shí)，高h(yuǎn)=（　�。�

• A．

  6

  3

• B．

  6

  6

• C．

  3

• D．

  2 3

  3

Answer 1

分析：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于半徑為1的球，該棱柱的高為h，則球心到正三棱柱底面ABC的距離d=

1

2

h，進(jìn)而根據(jù)底面半徑r，球心距d，球半徑R構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，可得底面半徑r，再由等邊三角形外接圓半徑與邊長的關(guān)系，可得底面邊長a，進(jìn)而得到底面面積，和棱柱的體積，利用導(dǎo)數(shù)法可得該棱柱體積最大時(shí)，高h(yuǎn)的值．

解答：解：設(shè)該棱柱的高為h，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于半徑為1的球，
可得球心到正三棱柱底面ABC的距離d=

1

2

h
則正三棱柱底面ABC的底面半徑r=

1-d2

=

1- 1 4 h2

則正三棱柱底面ABC的底面邊長a=

3

r=

3- 3 4 h2

則正三棱柱底面ABC的底面面積S=

3

4

a2=

3 3

4

-

3 3

16

h2
則正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

Sh=

3

4

h-

3

16

h3
則V′=

3

4

-

3 3

16

h2
令V′=0，則h=

2 3

3

故當(dāng)該棱柱體積最大時(shí)，高h(yuǎn)=

2 3

3

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握底面半徑r，球心距d，球半徑R構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，及正三角形邊長，面積，外接圓半徑之間的關(guān)系．