Question

（本小題滿分14分）

已知函數.

（Ⅰ）函數在區(qū)間上是增函數還是減函數？證明你的結論；

（Ⅱ）當時，恒成立，求整數的最大值；

（Ⅲ）試證明：（）。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間上是減函數；（Ⅱ）；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，

由 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題 …………（3分）

故在區(qū)間上是減函數        …………………（4分）

（Ⅱ）當時，在上恒成立，取，則，  ……………………（6分）

再取則   …………（7分）

故在上單調遞增，

而，……………（8分）

故在上存在唯一實數根，

故時，時，

故故  ……………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，

又

 

即：  ………………（14分）

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值，證明不等式。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（III）通過構造函數，運用“放縮法”轉化成數列“裂項相消法”求和，達到證明不等式的目的。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。