已知函數(shù),,.
⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵記函數(shù),當(dāng)時(shí),在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí) 數(shù)的取值范圍;
⑶記函數(shù),證明:存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),為單調(diào)增區(qū)間,
當(dāng)時(shí),為單調(diào)減區(qū)間, 為單調(diào)增區(qū)間.
(2)要證明存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn).,要結(jié)合極值點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)得到。
【解析】
試題分析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201039360605848_DA.files/image008.png">,
①若,則,在上為增函數(shù), 2分
②若,令,得,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以為單調(diào)減區(qū)間,為單調(diào)增區(qū)間.
綜上可得,當(dāng)時(shí),為單調(diào)增區(qū)間,
當(dāng)時(shí),為單調(diào)減區(qū)間, 為單調(diào)增區(qū)間. 4分
(2)時(shí),,
, 5分
在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),即在上有且只有一個(gè)根且不為重根,
由得, 6分
(。,,滿足題意; 7分
(ⅱ)時(shí),,即; 8分
(ⅲ)時(shí),,得,故;
綜上得:在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí),. 9分
注:本題也可分離變量求得.
(3)證明:由(1)可知:
(。┤,則,在上為單調(diào)增函數(shù),
所以直線與 的圖象不可能有兩個(gè)切點(diǎn),不合題意. 10分
(ⅱ)若,在處取得極值.
若,時(shí),由圖象知不可能有兩個(gè)切點(diǎn). 11分
故,設(shè)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(不妨設(shè)),
則直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)即為直線與和的切點(diǎn).
,,
設(shè)切點(diǎn)分別為,則,且
,,,
即, ①
, ②
,③
①-②得:,
由③中的代入上式可得:,
即, 14分
令,則,令,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201039360605848_DA.files/image059.png">,,
故存在,使得,
即存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn). 16分
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng):主要是考查了分類討論思想求解函數(shù)單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用,屬于難度題。
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆江西省高三上學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對(duì)任意,函數(shù)在上都有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年廣東省東莞市教育局教研室高三上學(xué)期數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)在中,,角滿足,求的面積.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com