Question

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出下列結論：
（1）AC⊥B₁D₁           
（2）AC₁⊥BC₁
（3）AB₁與BC₁成角為60°
  （4）AB與A₁C成角為45°
所有正確結論的序號（1）、（3）．

Answer 1

分析 連接BD，則AC⊥BD，得出AC⊥B₁D₁，判斷（1）正確；
計算tan∠AC₁B的值，判斷（2）錯誤；
連接A₁C₁，由△A₁BC₁是正三角形，判斷（3）正確；
連接A₁D，求出AB與A₁C成的角的正切值，判斷AB與A₁C成的角不是45°，命題錯誤．

解答 解：如圖所示，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
對于（1），連接BD，則AC⊥BD，又BD∥B₁D₁，
∴AC⊥B₁D₁，∴（1）正確；
對于（2），在Rt△AC₁B中，tan∠AC₁B=$\frac{AB}{{BC}_{1}}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC₁⊥BC₁不成立，（2）錯誤；
對于（3），連接A₁C₁，則△A₁BC₁是正三角形，
∴AB₁與BC₁成角為60°，（3）正確；
對于（4），連接A₁D，則∠A₁CD是AB與A₁C成的角，
∵tan∠A₁CD=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，∴AB與A₁C成的角不是45°，（4）錯誤．
綜上，正確結論的序號是（1）、（3）．
故答案為：（1）、（3）．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，是綜合題．