【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn+an=4,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知cn=2n+3(n∈N*),記dn=cn+logCan(C>0,C≠1),是否存在這樣的常數(shù)C,使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列,若存在,求出C的值;若不存在,請說明理由.
(3)若數(shù)列{bn},對于任意的正整數(shù)n,均有 成立,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
【答案】
(1)解:∵Sn+an=4,n∈N*.∴當n≥2時,Sn﹣1+an﹣1=4,
∴an+an﹣an﹣1=0,即an= an﹣1.
當n=1時,2a1=4,解得a1=2.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,an=2( )n﹣1=22﹣n
(2)解:dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=2n+3+(2﹣n)logC2=(2﹣logC2)n+3+2logC2,
假設存在這樣的常數(shù)C,使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列,
則2﹣logC2=0,解得C= .
∴存在這樣的常數(shù)C= ,使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列,dn=3+2 =7
(3)解:證明:∵對于任意的正整數(shù)n,均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=( )n﹣ 成立(*),
∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=( )n+1﹣ .①
(*)兩邊同乘以 可得:b1an+1+b2an+…+bna2=( )n+1﹣ .②.
①﹣②可得bn+1a1= ﹣ = ,
∴bn+1= ,
∴bn= ,(n≥3).
又2b1= ﹣ ,解得b1=﹣ .
b1a2+b2a1= ﹣ ,
∴﹣ ×1+b2×2=﹣ ,解得b2=﹣ .
當n=1,2時,bn= ,也適合.
∴bn= ,(n∈N*)是等差數(shù)列
【解析】(1)利用“當n=1時,a1=S1;當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出;(2)dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=(2﹣logC2)n+3+2logC2,假設存在這樣的常數(shù)C,使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列,則2﹣logC2=0,解得C即可;(3)由于對于任意的正整數(shù)n,均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=( )n﹣ 成立(*),b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=( )n+1﹣ .(*)兩邊同乘以 可得:b1an+1+b2an+…+bna2=( )n+1﹣ .兩式相減可得可得bn+1= ,即bn= ,(n≥3).n=1,2也成立,即可證明.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動圓恒過點,且與直線: 相切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)探究在曲線上,是否存在異于原點的兩點, ,當時,直線恒過定點?若存在,求出該定點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=,Sn=b1+b2+…+bn,對任意正整數(shù)n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,試求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知首項都是1的兩個數(shù)列{},{}(≠0,n∈N*)滿足
(1)令,求數(shù)列{}的通項公式;
(2)若=,求數(shù)列{}的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的命題個數(shù)是 ( )
①. 如果共面, 也共面,則共面;
②.已知直線a的方向向量與平面,若// ,則直線a// ;
③若共面,則存在唯一實數(shù)使,反之也成立;
④.對空間任意點O與不共線的三點A、B、C,若=x+y+z
(其中x、y、z∈R),則P、A、B、C四點共面
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ +2﹣2a(a>0)的圖象在點(1,f(1))處的切線與直線y=2x+1平行.
(1)求a,b滿足的關系式;
(2)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)證明:1+ + +…+ > (2n+1)+ (n∈N*).
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