Question

17．已知關(guān)于x的方程（t+1）cosx-tsinx=t+2在（0，π）上有實根．則實數(shù)t的最大值是-1．

Answer 1

分析 分離參數(shù)可得t=$\frac{2-cosx}{cosx-sinx-1}$，利用導數(shù)判斷右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可．

解答 解：∵（t+1）cosx-tsinx=t+2，
∴t=$\frac{2-cosx}{cosx-sinx-1}$，
令f（x）=$\frac{2-cosx}{cosx-sinx-1}$，
則f′（x）=$\frac{sinx（cosx-sinx-1）-（2-cosx）（-sinx-cosx）}{（cosx-sinx-1）^{2}}$=$\frac{sinx+2cosx-1}{（cosx-sinx-1）^{2}}$，
令g（x）=sinx+2cosx-1，則g′（x）=cosx-2sinx，
∴當x=arctan$\frac{1}{2}$時，g′（x）=0，當0＜x＜arctan$\frac{1}{2}$時，g′（x）＞0，當arctan$\frac{1}{2}$＜x＜π時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，arctan$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（arctan$\frac{1}{2}$，π）上單調(diào)遞減，
又g（0）=1，g（π）=-3，
∴g（x）在（0，π）上只有一個零點，又g（$\frac{π}{2}$）=0，
∴當0＜x＜$\frac{π}{2}$時，g（x）＞0，當$\frac{π}{2}$＜x＜π時，g（x）＜0，
∴當0＜x＜$\frac{π}{2}$時，f′（x）＞0，當$\frac{π}{2}$＜x＜π時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{π}{2}$，0）上單調(diào)遞減，
∴當x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值f（$\frac{π}{2}$）=-1．
∴t的最大值為-1．
故答案為-1．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．