Question

4．已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n（n∈N^*）．若{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=2，b₃=64b₂．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設${c_n}=（{{a_n}+n+1}）•{2^{{a_n}-2}}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n并比較$\frac{n}{{T}_{n}}$與$\frac{1}{3n+10}$的大�。╪∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₃=$lo{g}_{2}\frac{_{3}}{_{2}}$及a₁=2可得d=2，進而可得a_n=2n，利用a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n可得b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）通過（I）及c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$可得T_n、4T_n的表達式，利用錯位相減法計算即得T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．通過化簡可得比較$\frac{n}{{T}_{n}}$與$\frac{1}{3n+10}$的大小就是比較4ⁿ與3n+10的大小，利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：a₁+a₂+a₃=log₂b₃，a₁+a₂=log₂b₂，
兩式相減可得：a₃=$lo{g}_{2}\frac{_{3}}{_{2}}$=log₂64=6，
∵a₁=2，∴d=2，∴a_n=2n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$2•\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）=log₂b_n，
∴b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）由題意c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$=（3n+1）4^n-1，
∴T_n=4+7•4+10•4²+…+（3n+1）•4^n-1，
4T_n=4•4+7•4²+10•4³+…+（3n+1）•4ⁿ，
兩式相減得：-3T_n=4+3•4+3•4²+…+3•4^n-1-（3n+1）•4ⁿ
=4+3（4+4²+…+4^n-1）-（3n+1）•4ⁿ
=4+3•$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-3}$-（3n+1）•4ⁿ，
整理得：T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．
∴$\frac{n}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，即比較$\frac{n}{{T}_{n}}$與$\frac{1}{3n+10}$的大小就是比較4ⁿ與3n+10的大小．
當n=1時，4＜13，有4ⁿ＜3n+10，
當n=2時，16=16，有4ⁿ=3n+10，
當n=3時，64＞19，有4ⁿ＞3n+10，
猜測：當n≥3時，有4ⁿ＞3n+10（n∈N^*）．
下面用數(shù)學歸納法證明：
（1）當n=3時顯然成立；
（2）假設當n=k（k≥3，k∈N^*）時，4^k＞3k+10．
則當n=k+1時，4^k+1=4•4^k＞4（3k+10）=[3（k+1）+10]+9k+27＞3（k+1）+10，
即當n=k+1時，4ⁿ＞3n+10成立；
綜上所述，當n≥3時，有4ⁿ＞3n+10（n∈N^*）．

點評 本題考查求數(shù)列的通項，考查運算求解能力，考查數(shù)學歸納法，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于難題．