Question

若地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，且這兩點間的球面距離為

π

3

R，則北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的余弦值為（　�。�

A． 3 2

B． 3 3

C． 3 4

D． 2 3 5

Answer 1

如圖，A、B兩點間的球面距離為以O為圓心，且過A，B的圓中弧AB的長度，
設∠AOB=α，則α•R=

π

3

R，α=

π

3

．，
又OA=OB，∴△AOB為正三角形，∴AB=R．
設Q為北緯45°圈的圓心，則由球的截面圓形狀可知，OQ⊥⊙Q面，∠OAQ=45°，
且截面圓半徑長QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=

2

2

R．
在△QAB中，QA²+QB²=AB²，得△QAB為等腰直角三角形．
設M為AB中點，連接QM，OM，則OM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠OMQ為北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的平面角．
在RT△OMQ中，cos∠OMQ=

QM

OM

=

1 2 AB

OA2-AM2

=

1 2 R

R2-( 1 2 R)2

=

3

3

所以所求二面角的余弦值是

3

3

故選B．