Question

7．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）求a₁
（2）證明$\left\{{\frac{a_n}{2^n}+1}\right\}$為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項；
（3）設b_n=log₃（a_n+2ⁿ），且T_n=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+{\frac{1}{{{b_3}b}}_4}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，證明T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）令n=1，得a₂=2a₁+3，令n=2，得a₃=6a₁+13，再由2（a₂+5）=a₁+a₃，能求出a₁的值．
（2）當n≥2時，推導出$2{a_n}={a_{n+1}}-{a_n}-{2^n}$，從而$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}+1=\frac{3}{2}（\frac{a_n}{2^n}+1）$，由此能證明$數(shù)列\(zhòng)left\{{\frac{a_n}{2^n}+1}\right\}$是以$\frac{3}{2}$為首項，$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項．
（3）推導出${b_n}={log_3}{3^n}=n$，由此利用裂項求和法能證明T_n＜1．

解答 解：（1）在$2{S_n}={a_{n+1}}-{2^{n+1}}+1，n∈{N^*}$中
令n=1，得$2{S_1}={a_2}-{2^2}+1$，即a₂=2a₁+3，①
令n=2，得$2{S_2}={a_3}-{2^3}+1$，即a₃=6a₁+13，②
又2（a₂+5）=a₁+a₃，③
則由①②③解得a₁=1…（4分）
證明：（2）當n≥2時，由$\left\{\begin{array}{l}2{S_n}={a_{n+1}}-{2^{n+1}}+1\\ 2{S_{n-1}}={a_n}-{2^n}+1\end{array}\right.$，
得到$2{a_n}={a_{n+1}}-{a_n}-{2^n}$，
則$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}+1=\frac{3}{2}（\frac{a_n}{2^n}+1）$…．（6分）
由（1）得a₂=5，則$\frac{a_2}{2^2}+1=\frac{3}{2}（\frac{a_1}{2^1}+1）$，
∴$數(shù)列\(zhòng)left\{{\frac{a_n}{2^n}+1}\right\}$是以$\frac{3}{2}$為首項，$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{a_n}{2^n}+1=\frac{3}{2}×{（\frac{3}{2}）^{n-1}}$，
解得${a_n}={3^n}-{2^n}$…（8分）
（3）∵${b_n}={log_3}（{a_n}+{2^n}）$，則${b_n}={log_3}{3^n}=n$…..（9分）
則${T_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$…（11分）
∴T_n＜1…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的首項的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．