Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：
C（x）=，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為．
再由C（0）=8，得k=40，
因此
而建造費(fèi)用為C₁（x）=6x，
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為。
（Ⅱ），
令f′（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．
當(dāng)0＜x＜5時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)5＜x＜10時(shí)，f′（x）＞0，
故x=5是f（x）的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為．
當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元。