Question

1．已知cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），則sin（α+β）=$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 根據(jù)α、β的取值范圍求得$\frac{π}{4}$-α、$\frac{π}{4}$+β的取值范圍，從而確定sin（$\frac{π}{4}$-α），cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，然后將其代入，sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]的展開式中進(jìn)行求值．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$-α∈（-$\frac{π}{2}$，0），$\frac{π}{4}$+β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=sin（$\frac{π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=$\frac{56}{65}$．
故答案是：$\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)．解題過程中，要注意角與角間的數(shù)量轉(zhuǎn)換關(guān)系．