Question

6．（1）已知命題p：2x²-3x+1≤0和命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1≤0），若?p是?q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）已知p：關于x的方程x²+mx+1=0有兩個不相等的負實根；q：關于x的不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集為R．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由?p是?q的必要不充分條件，所以?q⇒?p且?p⇒?q．于是所以p⇒q且q⇒p，進而可得實數(shù)a的取值范圍．
（2）由“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，知p與q一真一假．進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）對于命題p：2x²-3x+1≤0，解得：$\frac{1}{2}≤x≤1$（1分）
對于命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1≤0），解得：a≤x≤a+1（2分）
由?p是?q的必要不充分條件，
所以?q⇒?p且?p⇒?q．
于是所以p⇒q且q⇒p．（4分）
所以$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ a+1≥1\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ a≥0\end{array}\right.$，
即：$0≤a≤\frac{1}{2}$
所以實數(shù)a的取值范圍是$0≤a≤\frac{1}{2}$（6分）
（2）解：p為真命題?-m＜0且△=m²-4＞0，⇒m＞2；
q為真命題?△=[4（m-2）]²-4×4×1＜0⇒1＜m＜3．
由“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，知p與q一真一假．
當p真，q假時，由m≤1或m≥3且m＞2，⇒m≥3；
當p假，q真時，由1＜m＜3且m≤2，⇒1＜m≤2．
綜上，知實數(shù)m的取值范圍是（1，2]∪[3，+∞）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查二次不等式的解法，復合命題，充要條件，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．