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8.給出下列四個結論:
①已知直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+a2=0,則l1∥l2的充要條件為a=±1;
②函數(shù)f(x)=3sinωx+cosωx滿足f(x+\frac{π}{2})=-f(x),則函數(shù)f(x)的一個對稱中心為(\frac{π}{6},0);
③已知平面α和兩條不同的直線a,b,滿足b?α,a∥b,則a∥α;
④函數(shù)f(x)=\frac{1}{x}+lnx的單調(diào)區(qū)間為(0,1)∪(1,+∞).
其中正確命題的個數(shù)為( �。�
A.4B.3C.2D.0

分析 根據(jù)直線平行判斷①,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷②,根據(jù)線面平行判斷③,根據(jù)導數(shù)的應用判斷④.

解答 解:對于①,由l1∥l2,得\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{{a}^{2}-a≠0}\end{array}\right.,
解得:a=-1,①錯;
對于②,由f(x+\frac{π}{2})=-f(x),得:f(x+π)=f(x),
∴f(x)的周期是π,ω=2,
∴f(x)=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin(2x+\frac{π}{6}),
故x=\frac{π}{6}時,f(x)=2,②錯;
對于③,a?α時,結論不成立,③錯;
對于④,f(x)=\frac{1}{x}+lnx,f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=\frac{x-1}{{x}^{2}},由f′(x)>0,得:x>1,
由f′(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,④錯;
故選:D.

點評 本題考查了充分必要條件,考查三角函數(shù),直線的平行的關系以及導數(shù)的應用,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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(Ⅰ)用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件,求其為二等品的概率;
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(2)設定點P(0,\sqrt{3}),求\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}

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同步練習冊答案
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