Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x²+y²=4相交于A、B兩點，|AB|=2

3

，求拋物線方程．

Answer 1

分析：設拋物線方程y²=ax（a≠0），利用拋物線與圓x²+y²=4都關于x軸對稱，求出A，B的坐標，利用|AB|=2

3

，即可求拋物線方程．

解答：解：由已知，拋物線的焦點可能在x軸正半軸上，也可能在負半軸上．
故可設拋物線方程為：y²=ax（a≠0）．                                （2分）
設拋物線與圓x²+y²=4的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵拋物線y²=ax（a≠0）與圓x²+y²=4都關于x軸對稱，
∴點A與B關于x軸對稱，
∴|y₁|=|y₂|且|y₁|+|y₂|=2

3

，（6分）
∴|y₁|=|y₂|=

3

，代入圓x²+y²=4得x²+3=4，
∴x=±1，（8分）
∴A（±1，

3

）或A（±1，-

3

），代入拋物線方程，得：（

3

）²=±a，∴a=±3．（10分）
∴所求拋物線方程是：y²=3x或y²=-3x．（12分）
注：少一種情況扣（4分）．也可分類討論．

點評：本題考查拋物線與圓的位置關系，考查圖形的對稱性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．