Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a（1+cosB）+b（1+cosA）=3c．
（1）求證：a，c，b成等差數(shù)列；
（2）若C=$\frac{π}{3}$，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理與等差數(shù)列的定義即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．

解答 （1）證明：∵a（1+cosB）+b（1+cosA）=3c，
∴a+a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+b+b×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=3c，
化為：a+b=2c，
∴a，c，b成等差數(shù)列．
（2）解：由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，又c=$\frac{a+b}{2}$．
∴$\frac{（a+b）^{2}}{4}$=a²+b²-2ab×$cos\frac{π}{3}$，
化為：（a-b）²=0，
∴a=b．
∴$\frac{a}$=1．

點評 本題考查了余弦定理與等差數(shù)列的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．