Question

設(shè)曲線y=cosx與x軸、y軸、直線x=

π

6

圍成的封閉圖形的面積為b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：由曲線y=cosx與x軸、y軸、直線x=

π

6

圍成的封閉圖形的面積為b，b為函數(shù)y=cosx在[0，

π

6

]上的定積分，求出b后代入函數(shù)g（x）=2lnx-2bx²-kx，由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減，可知其導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上小于等于0恒成立，然后利用分離變量法可求k的取值范圍．

解答：解：由題意可知，b=

∫

π 6 0

cosxdx=sin

x|

π 6 0

=sin

π

6

-sin0=

1

2

-0=

1

2

．
則g（x）=2lnx-2bx²-kx=2lnx-x²-kx．
g′(x)=

2

x

-2x-k，
由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
則g′(x)=

2

x

-2x-k≤0在[1，+∞）上恒成立，
即k≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，
令t（x）=

2

x

-2x，
則t′(x)=-

2

x2

-2．
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，t′(x)=-

2

x2

-2＜0
所以，函數(shù)t（x）=

2

x

-2x在[1，+∞）上為減函數(shù)，
則t（x）_max=t（1）=0，
所以，k≥0．
所以，使g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調(diào)遞減的實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0，+∞）．
故答案為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分的求法，考查了利用函數(shù)得到函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用分離變量求參數(shù)的取值范圍，此題屬中檔題．