Question

對x∈R，定義函數(shù)sgn（x）=
（1）求方程 x²-3x+1=sgn（x） 的根；
（2）設函數(shù)f（x）=[sgn（x-2）]•（x²-2|x|）f（x）=[sgn（x-2）]•，若關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記點集S={（x，y）|x^sgn（x-1）•y^sgn（y-1）=10，x＞0，y＞0} s={（x，y），點集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求點集T圍成的區(qū)域的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)分段落函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論思想能夠推導方程x²-3x+1=sgn（x）的根．
（2）由于函數(shù)，把原方程轉(zhuǎn)化為：．利用數(shù)形結(jié)合思想能推導出關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根．
（3）設點P（x，y）∈T，則（10^x，10^y）∈S．于是有x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1．由此利用分類討論思想能求出點集T圍成的區(qū)域的面積．
解答：解：（1）當x＞0時，sgn（x）=1，
解方程x²-3x+1=1，得x=3（x=0不合題意舍去）；
當x=0時，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解；
當x＜0時，sgn（x）=-1，
解方程x²-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合題意舍去）．
綜上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．
（2）由于函數(shù)，
則原方程轉(zhuǎn)化為：．
數(shù)形結(jié)合可知：
①a＜-2時，原方程有1個實根；
②當a=-2時，原方程有2個實根；
③當-2＜a＜0時，原方程有3個實根；
④當a=0時，原方程有4個實根；
⑤當時，原方程有5個實根；
⑥當時，原方程有4個實根；
⑦當時，原方程有3個實根；
⑧當時，原方程有2個實根；
⑨當時，原方程有1個實根．
故當時，
關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根．
（3）設點P（x，y）∈T，則（10^x，10^y）∈S．
于是有（10^x）^sgn（10^x-1）•（10^y）^sgn（10^y-1）=10，
得x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1．
當x＞0時，10^x-1＞0，sgn（（10^x-1），xsgn（10^x-1）；
當x＜0時，10^x-1＜0，sgn（10^x-1）=-1，xsgn（10^x-1）=-1；
當x=0時，xsgn（10^x-1）=0=0．
∴x•sgn（10^x-1）=|x|，
同理，y•sgn（10^y-1）=|y|．
∴T={（x，y）||x|+|y|=1}，
點集T圍成的區(qū)域是一個邊長為的正方形，面積為2．
點評：本題考查方程的根的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，考查區(qū)域面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．