Question

設函數f（x）對任意實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，求f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：由已知中對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進而根據函數奇偶性的定義得到結論f（x）為奇函數，再利用函數單調性的定義由x＞0時，有f（x）＞0，結合對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數的單調性，進而求f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值．

解答： 解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數．
任取兩個自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，
∴f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為f（a）．

點評：本題考查的知識點是抽象函數，函數單調性與性質，是對函數性質及應用的綜合考查．