Question

6．已知函數(shù)y=（log₂x-2）•（log₄x-$\frac{1}{2}$），2≤x≤8．
（1）令t=log₂x，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的范圍；
（2）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）由t=log₂x，t=log₂x，可得log₄x=$\frac{1}{2}$t，1≤t≤3，代入可得y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵2≤x≤8，t=log₂x，
∴1≤t≤3，
則log₄x=$\frac{1}{2}$log₂x=$\frac{1}{2}t$，
故函數(shù)y=（log₂x-2）•（log₄x-$\frac{1}{2}$）=（t-2）•（$\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+1$，1≤t≤3，
（2）由函數(shù)y=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+1$的圖象是開口朝上，且以直線t=$\frac{3}{2}$為對稱軸的拋物線，
故1≤t≤3時，
函數(shù)y=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+1$在[1，$\frac{3}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{3}{2}$，3]上為增函數(shù)；
故當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取最小值$-\frac{1}{8}$，
當(dāng)t=3時，函數(shù)取最大值1，
故函數(shù)的值域為[$-\frac{1}{8}$，1]

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．