Question

已知f （x）=x+

1

x

．
（1）求證：f （x） 是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)為奇函數(shù)即可；（2）先由函數(shù)f（x）的圖象性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可，由于此函數(shù)為奇函數(shù)，故可先證明其在（0，+∞）上的單調(diào)性，再利用對稱性證明（-∞，0）上的單調(diào)性

解答：解：（1）證明：函數(shù)f （x）=x+

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}
且f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x）
∴f （x） 是奇函數(shù)
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
證明：先證明函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+

1

x1

-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
若x₁＜x₂∈（0，1），則x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＜0，從而f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
若x₁＜x₂∈（1，+∞），則x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)

點(diǎn)評：本題考查了奇函數(shù)的定義及其應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)f （x）=x+

1

x

（俗稱對勾函數(shù)）的圖象和性質(zhì)