Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+2}$．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若x₁、x₂∈R⁺，且x₁≤x₂，求證：（lnx₁-lnx₂）（x₁+2x₂）≤3（x₁-x₂）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，得到方程x²+（4-3a）x+4=0有大于0的實數(shù)根，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，x²+（4-3a）x+4≥0在區(qū)間（0，1]內(nèi)恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）利用分析法進行證明即可．

解答 （1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（4-3a）x+4}{x（x+2）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，
∴方程x²+（4-3a）x+4=0有大于0的實數(shù)根，
∵函數(shù)y=x²+（4-3a）x+4的圖象經(jīng)過點（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（4-3a）^{2}-16＞0}\\{-\frac{4-3a}{2}＞0}\end{array}\right.$，∴a＞$\frac{8}{3}$；
（2）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，
∴x²+（4-3a）x+4≥0在區(qū)間（0，1]內(nèi)恒成立，
即3a≤$\frac{4}{x}$+x+4在區(qū)間（0，1]內(nèi)恒成立，
∵y=$\frac{4}{x}$+x+4在x=1時取得最小值9，
∴a≤3；
（3）證明：x₁=x₂，不等式顯然成立；
x₁≠x₂，只要證明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+2{x}_{2}}$，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），則只要證明lnt-$\frac{3（t-1）}{t+2}$≤0即可，
由（2）可得f（x）=lnx-$\frac{3（x-1）}{x+2}$在（0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）≤f（1）=0，
∴l(xiāng)nt-$\frac{3（t-1）}{t+2}$≤0，∴不等式成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．