Question

如圖，正方體AC₁的棱長為1，過點A作平面A₁BD的垂線，垂足為H．則以下命題中，錯誤的命題是（　�。�

• A、點H是△A₁BD的垂心
• B、AH垂直平面CB₁D₁
• C、直線AH和BB₁所成角為45°
• D、AH的延長線經(jīng)過點C₁

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：簡易邏輯

分析：首先，判斷三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，然后，得到△BA₁D為正三角形，得到H為A在平面A₁BD內(nèi)的射影，然后，根據(jù)平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，得到選項B正確，最后，結(jié)合線面角和對稱性求解．

解答： 解：∵AB=AA₁=AD，
BA₁=BD=A₁D，
∴三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，
∴點H是△A₁BD的垂心；
故選項A正確；
對于選項B：
∵平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，
選項B正確；
根據(jù)正方體的對稱性得到
AH的延長線經(jīng)過C₁，
∴選項D正確；
對于選項C，
∵AA₁∥BB₁，
∴∠A₁AH就是直線AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A1H=

2

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
∴sin∠A1AH=

6

3

，
所以選項C錯誤，
故選C．

點評：本題重點考查空間中點線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．