Question

已知等比數列{a_n}中，a_n > 0，公比q∈(0,1)， 且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈＝25， a₃與a₅的等比中項為2.

（1）求數列{a_n}的通項公式；

（2）設b_n＝log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

（1）∵a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25，∴a₃²＋2a₃a₅＋a₅²＝25，
∴(a₃＋a₅)²＝25， 又a_n>0，∴a₃＋a₅＝5，
又a₃與a₅的等比中項為2， ∴a₃a₅＝4.
而q∈(0,1)， ∴a₃>a₅，∴a₃＝4，a₅＝1，
∴q＝，a₁＝16， ∴a_n＝16×()^n－1＝2^5－n

（2）∵b_n＝log₂a_n＝5－n， ∴b_n＋1－b_n＝－1， b₁＝log₂a₁＝log₂16＝log₂2⁴＝4，
∴{b_n}是以b₁＝4為首項，－1為公差的等差數列， ∴S_n＝