Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，AC與BD交于點O，A₁C₁與B₁D₁交于點O₁，E為AD₁的中點．
（I） EO₁∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ） 求二面角O₁-BC-D的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EO₁∥平面CDD₁C₁．
（Ⅱ）求出平面O₁BC的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法能求出二面角O₁-BC-D的平面角．

解答： （I）證明：以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=2

3

，OB=2，
則A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），O₁（0，0，3），
D₁（0，-2，3），E（

3

，-1，

3

2

），D（0，-2，0），

O1E

=（

3

，-1，-

3

2

），

CC1

=（0，0，3），

CD

=（2

3

，-2，0），
設(shè)平面CDD₁C₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CC1 =3z=0 n • CD =2 3 x-2y=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，0），
∵

n

•

O1E

=0，∴

n

⊥

O1E

，
∵O₁E?平面CDD₁C₁，∴EO₁∥平面CDD₁C₁．
（Ⅱ）解：A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），O₁（0，0，3）
設(shè)平面O₁BC的法向量為

n1

（x₁，y₁，z₁），
則

n1

⊥

O1B

，

n1

⊥

O1C

，
∴

2y1-3z1=0 -2 3 x1-3z1=0

，
取z₁=2，得

n1

=（-

3

，3，2），
又平面BCD的法向量

n2

=（0，0，3），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

2

，
設(shè)二面角O₁-BC-D的平面角為θ，則cosθ=

1

2

，∴θ=60°，
∴二面角O₁-BC-D的平面角為60°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的平面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．