Question

求和：1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1（a≠0）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對(duì)a分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：當(dāng)a=1時(shí)，其和S_n=1+3+5+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²；
當(dāng)a≠0，1時(shí)，S_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1．
∴aaS_n=a+3a²+…+（2n-3）•a^n-1+（2n-1）•aⁿ，
∴（1-a）S_n=1+2a+2a²+…+2a^n-1-（2n-1）•aⁿ=

2(an-1)

a-1

-1-（2n-1）•aⁿ，
∴S_n=

a+1+(2na-a-2n-1)•an

(a-1)2

．
綜上可得：當(dāng)a=1時(shí)，S_n=n²．
當(dāng)a≠0，1時(shí)，S_n=

a+1+(2na-a-2n-1)•an

(a-1)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．