Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求a_n及S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可求a_n及S_n．

解答 證明：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$=S_n-S_n-1．
即2S_n²=（2S_n-1）（S_n-S_n-1）=2S_n²-2S_nS_n-1-S_n+S_n-1，
即2S_nS_n-1=S_n-S_n-1，
則$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$$-\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=2，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；公差d=-2，首項(xiàng)$\frac{1}{{S}_{1}}=1$．
（2）由（1）得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-2（n-1）=3-2n，
即S_n=$\frac{1}{3-2n}$，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3-2n}$-$\frac{1}{5-2n}$=$\frac{2}{（3-2n）（5-2n）}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1不滿足a_n，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{2}{（3-2n）（5-2n）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列形式是解決本題的關(guān)鍵．