已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的中心為O，過其右焦點(diǎn)F的直線與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，
FA

與
BF
同向，且FA⊥OA，若|OA|+|OB|=2|AB|，則此雙曲線的離心率為（　　）
A、
3
B、
6
2
C、
10
3
D、
5
2
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由勾股定理、|
OA
|+|
OB
|=2|
AB
|，得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長(zhǎng)度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．
解答： 解：由FA⊥OA知，|OA|2+|AB|2=|OB|2，
又|
OA
|+|
OB
|=2|
AB
|，
所以|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，
于是tan∠AOB=
4
3
．
因?yàn)?span id="pfxh2e9" class="MathJye">
FA
與
BF
同向，
所以過F作直線l1的垂線與雙曲線相交于同一支．
而雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程y=±
b
a
x，故
2b
a
1-
b2
a2
=
4
3
，
解得a=2b，
故雙曲線的離心率e=
c
a
=
a2+b2
a
=
5
2
．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，確定tan∠AOB=
4
3
，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，則不等式（x2-x）f（x）＞0的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某大學(xué)準(zhǔn)備在開學(xué)時(shí)舉行一次大學(xué)一年級(jí)學(xué)生座談會(huì)，擬邀請(qǐng)20名來(lái)自本校機(jī)械工程學(xué)院、海洋學(xué)院、醫(yī)學(xué)院、經(jīng)濟(jì)學(xué)院的學(xué)生參加，各學(xué)院邀請(qǐng)的學(xué)生數(shù)如下表所示：
學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院海洋學(xué)院醫(yī)學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院
人數(shù)4646
（Ⅰ）從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，求這3名學(xué)生中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的概率；
（Ⅱ）從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)來(lái)自醫(yī)學(xué)院的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖AC是圓O的直徑，B、D是圓O上兩點(diǎn)，AC=2BC=2CD=2，PA⊥圓O所在的平面，PA=
3
，點(diǎn)M在線段BP上，且BM=
1
3
BP．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）求異面直線BP與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
4x
2x2+m
在（
1
2
，f（
1
2
））處的切線方程為8x-9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤ax+
8
9
在[
1
2
，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ） （ω＞0，|ϕ|＜
π
2
）有一個(gè)零點(diǎn)x0=-
2
3
，且其圖象過點(diǎn)A（
7
3
，1），記函數(shù)f（x）的最小正周期為T，
（1）若f′（x0）＜0，試求T的最大值及T取最大值時(shí)相應(yīng)的函數(shù)解析式、
（2）若將所有滿足題條件的ω值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列{ωn}，試求數(shù)列{ωn}的前項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

任取實(shí)數(shù)a，b∈[-1，1]，則a，b滿足b≥a2的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（-1，3），
b
=（1，t），若（
a
-2
b
）⊥
a
，則|
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，三角形的面積為
3
，又
cosC
cosB
=
c
2a-b
，則
1
b+1
+
9
a+9
的最大值為
 
．

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