Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+sin²x．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）設(shè)α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值，函數(shù)的值域可得，利用三角函數(shù)的周期公式求得最小正周期．
（2）利用（1）中函數(shù)的解析式，把x=α代入，根據(jù)結(jié)果為

2

2

求得α值．

解答：（1）解：f（x）=sinx•cosx+sin²x=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，
因?yàn)?span id="6nfwybo" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">-1≤sin(2x-

π

4

)≤1，
所以

1- 2

2

≤

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

≤

1+ 2

2

，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．
函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）解：由（Ⅰ）得f(α)=

2

2

sin(2α-

π

4

)+

1

2

=1，
所以sin(2α-

π

4

)=

2

2

，
因?yàn)?＜α＜π，所以-

π

4

＜2α-

π

4

＜

7π

4

，
所以2α-

π

4

=

π

4

， 或2α-

π

4

=

3π

4

，
所以α=

π

4

， 或α=

π

2

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦函數(shù)的值域和定義域，周期性及其求法等．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基本公式的把握程度．