Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$，若a＜b，f（a）=f（b），則實(shí)數(shù)a-2b的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，設(shè)f（a）=f（b）=t，根據(jù)否定，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)f（a）=f（b）=t，
則0＜t≤$\frac{1}{e}$，
∵a＜b，∴a≤1，b＞-1，
則f（a）=e^a=t，f（b）=2b-1=t，
則a=lnt，b=$\frac{1}{2}$（t+1），
則a-2b=lnt-t-1，
設(shè)g（t）=lnt-t-1，0＜t≤$\frac{1}{e}$，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（t）=$\frac{1}{t}$-1=$\frac{1-t}{t}$，
則當(dāng)0＜t≤$\frac{1}{e}$時(shí)g′（t）＞0，
此時(shí)函數(shù)g（t）為增函數(shù)，
∴g（t）≤g（$\frac{1}{e}$）=ln$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$-1=-$\frac{1}{e}$-2，
即實(shí)數(shù)a-2b的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．