Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$，若a＜b，f（a）=f（b），則實數a-2b的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]．

Answer 1

分析 作出函數f（x）的圖象，設f（a）=f（b）=t，根據否定，轉化為關于t的函數，構造函數，求出函數的導數，利用導數研究函數的單調性和取值范圍即可．

解答 解：作出函數f（x）的圖象如圖：
設f（a）=f（b）=t，
則0＜t≤$\frac{1}{e}$，
∵a＜b，∴a≤1，b＞-1，
則f（a）=e^a=t，f（b）=2b-1=t，
則a=lnt，b=$\frac{1}{2}$（t+1），
則a-2b=lnt-t-1，
設g（t）=lnt-t-1，0＜t≤$\frac{1}{e}$，
函數的導數g′（t）=$\frac{1}{t}$-1=$\frac{1-t}{t}$，
則當0＜t≤$\frac{1}{e}$時g′（t）＞0，
此時函數g（t）為增函數，
∴g（t）≤g（$\frac{1}{e}$）=ln$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$-1=-$\frac{1}{e}$-2，
即實數a-2b的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{e}$-2]．

點評 本題主要考查分段函數的應用，涉及函數與方程的關系，利用換元法轉化為關于t的函數，構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．