Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）·e^3-x （a∈R）

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）=（a²+）e^x（a>0），若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．

⑵ a的取值范圍為．

【解析】

試題分析：⑴，令，

即所以

所以 …………………………………………………………………3分

，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)． ………………………………………………………………………………6分

⑵ 當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)

又

∴在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041019003687503058/SYS201304101901108750720440_DA.files/image026.png"> ………………………………………8分

又在上為增函數(shù)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041019003687503058/SYS201304101901108750720440_DA.files/image028.png">……10分

等價(jià)于……………………………………………12分

存在使得成立，只須

，又

∴a的取值范圍為． ………………………………………………………………14分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題。

點(diǎn)評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，（2）涉及恒成立問題，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，這種思路是一般解法，往往要利用“分離參數(shù)法”，本題最終化為最值之間故選的研究，體現(xiàn)考題“起點(diǎn)高，落點(diǎn)低”的特點(diǎn)。