Question

已知為正整數(shù)，試比較n²與2ⁿ的大小．

Answer 1

解：當(dāng)n=1時(shí)，n²＜2ⁿ； …（1分）
當(dāng)n=2時(shí)，n²=2ⁿ； …（2分）
當(dāng)n=3時(shí)，n²＞2ⁿ； …（3分
當(dāng)n=4時(shí)，n²=2ⁿ； …（4分）
當(dāng)n=5時(shí)，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=6時(shí)，n²＜2ⁿ；
猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，n²＜2ⁿ…（5分）
下面下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=5時(shí)，由上面的探求可知猜想成立 …（6分）
（2）假設(shè)n=k（k≥5）時(shí)猜想成立，即2^k＞k²…（7分）
則2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2
當(dāng)k≥5時(shí)（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²
從而2^k+1＞（k+1）²
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立 …（9分）
綜合（1）（2），對(duì)n∈N^*猜想都成立 …（10分）
分析：從n=1開始逐個(gè)驗(yàn)證，得出一般規(guī)律，猜想當(dāng)n≥5時(shí)，n²＜2ⁿ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．